QuickSort

9.9.1快速排序介绍
终于我们的高手要登场了，如果将来你工作后，你的老板要让你写个排序算法，而你会的算法中竟然没有快速排序，我想你还是不要声张，偷偷去把快速排序算法找来敲进电脑，这样至少你不至于被大伙儿取笑。
事实上，不论是C++ STL、Java SDK或者.NET FrameWork SDK等开发工具包中的源代码里都能找到它的某种实现版本。
快速排序算法最早由图灵奖获得者Tony Hoare设计出来的，他在形式化方法理论，以及ALGOL60 编程语言的发明都有卓越的贡献，是上世纪最伟大的计算机科学家之一。而这快速排序算法只是他众多贡献中的一个小发明而已。
更牛的是，我们现在要学习的这个快速排序算法，被列为20世纪10大算法之一。我们这些玩编程的人还有什么理由不去学习它呢？
希尔排序相当于直接插入排序的升级，它们同属于插入排序类，堆排序相当于简单选择排序的升级，它们同属于选择排序类。而快速排序其实就是我们前面认为最慢的冒泡排序的升级，它们都属于交换排序类。即它也是通过不断的比较和移动交换来实现排序的，只不过它的实现，增大了记录的比较和移动的距离，将关键字较大的记录从前面直接移动到后面，关键字较小的记录从后面直接移动到前面，从而减少了总的比较次数和移动交换次数。

9.9.2快速排序算法
快速排序（Quick Sort）的基本思想是：通过一趟排序将待排记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序的目的。
从字面上感觉不出它的好处来。假设现在要对数组{50,10,90,30,70,40,80,60,20}进行排序。我们通过代码的讲解来学习快速排序的精妙。
我们来看代码。

/*对顺序表L作快速排序*/
voidQuickSort(SqList*L)
{
QSort(L,1,L->length);
}

又是一句代码，和归并排序一样，由于需要递归调用，因此我们外封装了一个函数。现在我们来看QSort的实现。

/*对顺序表L中的子序列L->r[low..high]作快速排序*/
voidQSort(SqList*L,intlow,inthigh)
{
intpivot;
if(low<high)
{
pivot=Partition(L,low,high);/*将L->r[low..high]一分为二，算出枢轴值pivot*/
QSort(L,low,pivot-1);/*对低子表递归排序*/
QSort(L,pivot+1,high);/*对高子表递归排序*/
}
}

从这里，你应该能理解前面代码“QSort(L,1,L->length);”中1和L->length代码的意思了，它就是当前待排序的序列最小下标值low和最大下标值high。
这一段代码的核心是“pivot=Partition(L,low,high);”在执行它之前，L.r的数组值为{50,10,90,30,70,40,80,60,20}。Partition函数要做的，就是先选取当中的一个关键字，比如选择第一个关键字50，然后想尽办法将它放到一个位置，使得它左边的值都比它小，右边的值比它大。我们将这样的关键字称为枢轴（pivot）。
在经过Partition(L,1,9)的执行之后，数组变成{20,10,40,30,50,70,80,60,90}，并返回值5给pivot，数字5表明50放置在数组下标为5的位置。此时，计算机把原来的数组变成了两个位于50左和右小数组{20,10,40,30}和{70,80,60,90}，而后的递归调用“QSort(L,1,5-1);”和“QSort(L,5+1,9);”语句，其实就是在对{20,10,40,30}和{70,80,60,90}分别进行同样的Partition操作，直到顺序全部正确为止。
到了这里，应该说理解起来还不算困难。下面我们就来看看快速排序最关键的Partition函数实现是怎么样的。

/*交换顺序表L中子表的记录，使枢轴记录到位，并返回其所在位置*/
/*此时在它之前(后)的记录均不大(小)于它。*/
1intPartition(SqList*L,intlow,inthigh)
2{
3intpivotkey;
4pivotkey=L->r[low];/*用子表的第一个记录作枢轴记录*/
5while(low<high)/*从表的两端交替地向中间扫描*/
6{
7while(low<high&&L->r[high]>=pivotkey)
8high--;
9swap(L,low,high);/*将比枢轴记录小的记录交换到低端*/
10while(low<high&&L->r[low]<=pivotkey)
11low++;
12swap(L,low,high);/*将比枢轴记录大的记录交换到高端*/
13}
14returnlow;/*返回枢轴所在位置*/
15}

1)程序开始执行，此时low=1，high=L.length=9。第4行，我们将L.r[low]=L.r[1]=50赋值给枢轴变量pivotkey，如图9-9-1所示。

2)第5～13行为while循环，目前low=1<high=9，执行内部语句。
3)第7行，L.r[high]= L.r[9]=20≯pivotkey=50，因此不执行第8行。
4)第9行，交换L.r[low]与L.r[high]的值，使得L.r[1]=20，L.r[9]=50。为什么要交换，就是因为第7行的比较知道，L.r[high]是一个比pivotkey=50（即L.r[low]）还要小的值，因此它应该交换到50的左侧，如图9-9-2所示。

5)第10行，当L.r[low]= L.r[1]=20，pivotkey=50，L.r[low]<pivotkey，因此第11行，low++，此时low=2。继续循环，L.r[2]=10<50，low++，此时low=3。L.r[3]=90>50，退出循环。
6)第12行，交换L.r[low]=L.r[3]与L.r[high]=L.r[9]的值，使得L.r[3]=50，L.r[9]=90。此时相当于将一个比50大的值90交换到了50的右边。注意此时low已经指向了3，如图9-9-3所示。

7)继续第5行，因为low=3<high=9，执行循环体。
8)第7行，当L.r[high]= L.r[9]=90，pivotkey=50，L.r[high]>pivotkey，因此第8行，high--，此时high=8。继续循环，L.r[8]=60>50，high--，此时high=7。L.r[7]=80>50，high--，此时high=6。L.r[6]=40<50，退出循环。
9)第9行，交换L.r[low]=L.r[3]=50与L.r[high]=L.r[6]=40的值，使得L.r[3]=40，L.r[6]=50，如图9-9-4所示。

10)第10行，当L.r[low]= L.r[3]=40，pivotkey=50，L.r[low]<pivotkey，因此第11行，low++，此时low=4。继续循环L.r[4]=30<50，low++，此时low=5。L.r[5]=70>50，退出循环。
11)第12行，交换L.r[low]=L.r[5]=70与L.r[high]=L.r[6]=50的值，使得L.r[5]=50，L.r[6]=70，如图9-9-5所示。

12)再次循环。因low=5<high=6，执行循环体后，low=high=5，退出循环，如图9-9-6所示。

13)最后第14行，返回low的值5。函数执行完成。接下来就是递归调用“QSort(L,1,5-1);”和“QSort(L,5+1,9);”语句，对{20,10,40,30}和{70,80,60,90}分别进行同样的Partition操作，直到顺序全部正确为止。我们就不再演示了。
通过这段代码的模拟，大家应该能够明白，Partition函数，其实就是将选取的pivotkey不断交换，将比它小的换到它的左边，比它大的换到它的右边，它也在交换中不断的更改自己的位置，直到完全满足这个要求为止。

9.9.3快速排序复杂度分析
我们来分析一下快速排序法的性能。快速排序的时间性能取决于快速排序递归的深度，可以用递归树来描述递归算法的执行情况。如图9-9-7，它是{50,10,90,30,70,40,80,60,20}在快速排序过程中的递归过程。由于我们的第一个关键字是50，正好是待排序的序列的中间值，因此递归树是平衡的，此时性能也比较好。

在最优情况下，Partition每次都划分得很均匀，如果排序n个关键字，其递归树的深度就为⌊log₂n⌋+1（⌊x⌋表示不大于x的最大整数），即仅需递归log₂n次，需要时间为T(n)的话，第一次Partiation应该是需要对整个数组扫描一遍，做n次比较。然后，获得的枢轴将数组一分为二，那么各自还需要T(n/2)的时间（注意是最好情况，所以是平分两半）。于是不断的划分下去，我们就有了下面的不等式推断：
T(n)≤2T(n/2) +n，T(1)=0
T(n)≤2(2T(n/4)+n/2) +n=4T(n/4)+2n
T(n)≤4(2T(n/8)+n/4) +2n=8T(n/8)+3n
……
T(n)≤nT(1)+(log₂n)×n= O(nlog₂n)

也就是说，在最优的情况下，快速排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。
在最坏的情况下，待排序的序列为正序或者逆序，每次划分只得到一个比上一次划分少一个记录的子序列，注意另一个为空。如果递归树画出来，它就是一棵斜树。此时需要执行n-1次递归调用，且第i次划分需要经过n-i次关键字的比较才能找到第i个记录，也就是枢轴的位置，因比较次数为，最终其时间复杂度为O(n²)。
平均的情况，设枢轴的关键字应该在第k的位置（1≤k≤n），那么

由数学归纳法可证明，其数量级为O(nlogn)。
就空间复杂度来说，主要是递归造成的栈空间的使用，最好情况，递归树的深度为log₂n，其空间复杂度也就为O(logn)，最坏情况，需要进行n-1递归调用，其空间复杂度为O(n)，平均情况，空间复杂度也为O(logn)。
可惜的是，由于关键字的比较和交换是跳跃进行的，因此，快速排序是一种不稳定的排序方法。